Формулы шеннона для непрерывного и дискретного каналов

Формулы Шеннона представляют собой математические записи теорем кодирования Шеннона для дискретных и непрерывных сообщений, передаваемых по каналам с ограниченной пропускной способностью на фоне шумов и помех. Каналы в зависимости от типов сигналов на входе и выходе принято делить на дискретные, непрерывные и смешанные. В общей структурной схеме канала передачи (см. рис. 17.1) дискретными являются каналы от входа модулятора до выхода демодулятора и от входа кодера до выхода декодера. Непрерывный (аналоговый) канал – это собственно последовательная линия передачи (телефонная линия, скрученная пара проводов, коаксиальный кабель и др.). Дискретные каналы не являются независимыми от аналогового канала, который часто образует наиболее узкое место при передаче и из-за собственной ограниченной полосы пропускания, внешних шумов и помех определяет общую достижимую скорость передачи (при заданном допустимом уровне ошибок при приеме).

Рис. 17.1. Общая структурная схема канала передачи: 1 – непрерывный (аналоговый) канал; 2, 3 – дискретные каналы

Прежде, чем рассматривать формулы Шеннона, целесообразно обратиться к рис. 17.1 и пояснить функции отдельных устройств. Кодер/декодер в конкретной системе может совмещать, на первый взгляд, прямо противоположные функции. Во-первых, кодер может быть использован для внесения избыточности в передаваемую информацию с целью обнаружения влияния шумов и помех на приемном конце (там этим занимается соответствующий декодер). Избыточность проявляется в добавлении к передаваемой полезной информации так называемых проверочных разрядов, формируемых, как правило, аппаратными средствами из информационной части сообщения. Известно много различных помехоустойчивых кодов, причем самый простой из них однобитовый (бит четности/нечетности) далеко не всегда удовлетворительно работает на практике. Вместо него в локальных сетях используются контрольная сумма или циклический код (CRC – Cyclic Redundancy Check), занимающий в формате передаваемого сообщения 2 или 4 байта, независимо от длины в байтах информационной части сообщения. При больших объемах передаваемой информации целесообразно сжать ее до передачи. В этом случае говорят уже о статистическом кодировании. Здесь уместна аналогия с обычными программами архивации файлов (типа arj, rar, pkzip и др.), которые широко используются при организации обмена в Интернет. Если проблема с большими объемами информации и после такого обратимого сжатия до конца не решается, можно рассмотреть возможность необратимого сжатия информации с частичной ее потерей (огрублением). Конечно, здесь не идет речь об отбрасывании части цифровых данных, но по отношению к изображениям иногда можно пойти на снижение разрешения (числа пикселей) без искажения общего вида картинки. Понятно, что оба типа кодирования (помехоустойчивое избыточное кодирование и статистическое кодирование) служат, в конечном счете, решению одной задачи – повышению качества передачи как в смысле отсутствия или минимального допустимого уровня ошибок в принятом сообщении, так и в смысле максимального использования пропускной способности канала передачи. В высокоскоростных модемах нередко реализуются оба типа кодирования. Что касается функций модулятора/демодулятора на рис. 17.1, то они, как уже было сказано, включают согласование полосы частот, занимаемой сигналами, с полосой пропускания линии передачи. Кроме того, выходные каскады передатчиков (после модуляторов) реализуют усиление сигналов по мощности и амплитуде, это одно из средств увеличения отношения сигнал/шум. Действительно, ничто (кроме, пожалуй, техники безопасности) не заставляет разработчиков придерживаться в аналоговом канале столь жестких ограничений сигналов по амплитуде, как в дискретных (цифровых) каналах (от 0 до +5В при использовании аппаратуры в стандарте ТТЛ). Например, для распространенного стандарта последовательного порта компьютера RS-232C предусмотрена вилка амплитуд от –(3…12) В до +(3…12) В. Конечно, это касается амплитуд вблизи передатчика, в то время как вблизи приемника амплитуда сигналов может быть существенно ослаблена.

Формула Шеннона для непрерывного (аналогового) канала достаточна проста:

где Vмакс – максимальная скорость передачи (бит/сек), – полоса пропускания линии передачи и, одновременно, полоса частот, занимаемая сигналами (если не используется частотное разделение каналов), S/N – отношение сигнал/шум по мощности. График этой зависимости приведен на рис. 17.2(формуле Шеннона соответствует кривая под названиемтеоретический предел ).

Рис. 17.2. Зависимость максимальной скорости передачи Vмакс для аналоговой линии от отношения сигнал-шум по мощности S/N

Под шумом понимается любой нежелательный сигнал, в том числе внешние помехи или сигнал, вернувшийся к передающему устройству – может быть и модему – в результате отражения от противоположного конца линии. Сами по себе сосредоточенные помехи не столь существенно ограничивают пропускную способность аналогового канала, как непредсказуемый в каждый момент времени белый гауссовский шум. Умные высокоскоростные модемы умеют, как будет отмечено в дальнейшем, определять уровень и задержку своих отраженных сигналов и компенсировать их влияние.

Формула Шеннона для многопозиционного дискретного канала, построенного на базе предыдущего непрерывного канала, в отсутствие ошибок при приеме, имеет следующий вид:

Здесь n – общее число вариантов дискретного (цифрового) сигнала (алфавит). Если за время одной посылки (длительность элементарного аналогового сигнала типа отрезка синусоиды) передается информация о k двоичных разрядах, то n=2k. Практически расширение алфавита для дискретных сигналов приводит к появлению все менее различимых элементарных посылок, так что величина n ограничивается сверху все тем же отношением сигнал/шум S/N в аналоговом канале.

При учете ошибок при приеме формула Шеннона для многопозиционного дискретного канала, построенного на базе непрерывного канала, имеет следующий вид:

Здесь pош – отношение числа бит, принятых с ошибками, к общему числу переданных бит за время наблюдения, теоретически стремящееся к бесконечности, а практически достаточное для набора статистики. Согласно стандарта ITU-T для телефонных сообщений должно выполняться условие pош0 и при pош-1 . Физический смысл такой зависимости состоит в том, что при pош=1/2 принятый сигнал не содержит полезной информации (каждый из принятых битов может оказаться ошибочным). При pош-1 (гипотетический случай, имеющий сугубо теоретический интерес) каждый бит с большой вероятностью инвертируется и доля полезной информации снова возрастает.

Формулы Шеннона показывают, что наиболее эффективный способ повышения максимальной скорости передачи Vмакс состоит в увеличении полосы пропускания линии передачи . Логарифмическая зависимость Vмакс от отношения сигнал/шум S/N делает этот путь повышения Vмакс гораздо менее перспективным и более трудоемким. Однако на практике редко возможен свободный выбор линии передачи, который с точки зрения реализации максимальной скорости передачи однозначно сводится к использованию оптоволокна (ВОЛС). На практике чаще всего имеется телефонная линия, по которой и нужно организовать передачу с применением модемов. Аналоговая телефонная линия (точнее, тракт передачи, функционирующий на этой линии, с учетом фильтров) имеет фиксированную полосу пропускания Гц, поэтому приходится бороться именно за повышение отношения сигнал/шум. Да и то хороший результат сам по себе не гарантирован, так как речь идет о реализации возможностей, близких к теоретическому пределу. Практический предел отношения сигнал/ шум в аналоговой телефонной линии составляет примерно 35 дБ (более 3000 раз по мощности или более 56 раз по амплитуде), что соответствует максимальной скорости бит/сек (стандартное значение, реализуемое на практике, 33600 бит/сек). Популярные в настоящее время 56К – модемы реализуют заявленную скорость только в одну сторону – от провайдера (из сети) до пользователя и только при условии работы провайдера непосредственно на цифровой, несколько более широкополосной, линии передачи (чудес не бывает!).

Типы линий передачи, в которых используются модемы (варианты решения проблемы последней мили)

Прокладывание по всем правилам структурированных кабельных систем (СКС) для вновь создаваемых или реорганизуемых компьютерных сетей – безусловно, полезное, но, одновременно, и дорогостоящее мероприятие, требующее больших первоначальных затрат на проведение капитальных работ. По этой причине производители аппаратных сетевых средств осваивают уже существующие или создаваемые линии передачи, большинство из которых не предназначены изначально для соединения компьютеров в сети. Для работы на таких линиях обычно требуются специфические модемы. В сравнении с обычными телефонными модемами эти модемы, как правило, более дорогие не в последнюю очередь из-за ограниченного объема их выпуска. В то же время они по-прежнему служат для переноса спектра передаваемых сигналов в полосу рабочих частот линии передачи, выделенную для организации обмена по сети.

По сложившейся терминологии, различные методы и средства передачи информации на участке от провайдера, предоставляющего доступ к услугам глобальной сети, до конечного пользователя, принято называть вариантами решения проблемы последней мили. Качество соединения на этом участке и его длина существенным образом сказываются на степени приближения реально достижимой скорости обмена для конечного пользователя к номинальной скорости для данной технологии.

Ниже представлен краткий обзор линий передачи, в которых используется модемная связь, и приводятся достигнутые в настоящее время технические характеристики соответствующих модемов (в первую очередь – скорость передачи).

Однопроводная линия – самая простая из возможных линий последовательной передачи данных (см. рис. 17.3). Из-за большого территориального удаления передатчика от приемника в сети (до нескольких сотен метров или даже свыше километра) возникает заметная разница потенциалов между точками заземления аппаратуры и возрастает влияние ничем не скомпенсированных помех. Поэтому на практике такие линии передачи в сетях не используются.

Рис. 17.3. Однопроводная линия передачи (при симплексном режиме обмена данными)

Обычную линию силового электропитания на 220 В (электропроводку) в последнее время успешно используют для организации двунаправленной системы домашней автоматики, связывающей различные бытовые приборы (осветительные приборы, стиральную машину, телевизор и др.) и датчики (температуры, потребляемой мощности и др.). Цель состоит как в управлении этими приборами, так и в сигнализации об опасных ситуациях (пожар, утечка газа и т.д.). Побочное использование электропроводки для организации домашней локальной сети напрашивается само собой, однако при этом надо иметь в виду далеко неидеальные характеристики такой линии. Измерения на реальных линиях электропроводки в диапазоне частот 100…150 кГц, наиболее перспективном для передачи данных, показали существенный разброс модуля импеданса линии (1,5…80 Ом), затухания (2…40 дБ) и уровня шума (до –15 дБ). Эти характеристики существенно зависят от количества одновременно включенных бытовых приборов.

Для организации домашней локальной сети, использующей линию электропроводки, необходимы специальные модемы (power line modems). Первоначально скорость передачи информации по линии электропроводки была невысокой – до 10 Кбит/c или несколько больше. В такой сети устройства обмениваются данными примерно с такими же скоростями, как если бы это происходило в сети Интернет, хотя и находятся в соседних помещениях. Это не столь важно при обмене цифровыми данными, однако может создавать проблемы при передаче оцифрованной речи и изображений (особенно динамических). Недавно появился промышленный стандарт передачи данных по бытовой сети со скоростями передачи, характерными для сетей Ethernet (до 14 Мбит/c). Ранее область действия обычной сети домашней автоматики ограничивалась расстоянием до распределительного трансформатора. Новым стандартом предусмотрена возможность подключения локальной сети на основе электропроводки непосредственно к Интернет (минуя телефонную сеть). В некоторых странах Европы (Германия, Австрия) такая возможность, пусть и в ограниченном масштабе, уже реализована на практике.

Двухпроводная телефонная линия в пределах отдельных зданий представляет собой простой двухжильный провод (симметричный кабель), но и это уже прогресс по сравнению с рассмотренной ранее однопроводной линией, так как отсчет принятого сигнала ведется не от потенциала земли, а от второго провода в линии. В таких линиях просто организуется симплексный и полудуплексный режим обмена данными, в то время как дуплексный обмен возможен только ценою снижения скорости передачи (при частотном или временном разделении прямого и обратного каналов). Если учесть ограниченную полосу пропускания аналоговой телефонной линии, то выделение в ней прямого и обратного каналов с равными скоростями обмена в обоих направлениях оказывается неэффективным решением. Правда иногда требуется передавать в одном из направлений служебную информацию (сообщение о состоянии удаленного модема, его режимах работы и др.), для которой скорость передачи некритична. Тогда параллельный канал может быть организован практически без потери скорости по основному каналу.

Четырехпроводная телефонная линия преодолевает недостаток обычной двухпроводной линии, так как позволяет организовать дуплексный обмен без потери скорости в обоих направлениях. Однако линии такого типа не столь широко распространены, как двухпроводные (тем более в России).

Многопарный телефонный кабель используется в магистральной части телефонной линии (для внешних соединений) и отличается от внутренних телефонных линий большей полосой пропускания, которая необходима для уплотнения множества телефонных каналов.

Линии на основе коаксиального кабеля, применяемые в системах кабельного телевидения (CATV), подобны соединениям во многих локальных сетях. В этих линиях используется еще один тип специализированных модемов, заслуживших собственное название: cable modems. Обычный телевизионный сигнал и цифровые данные при передаче по кабелю должны быть разнесены по разным частотным диапазонам. Поэтому увеличение скорости не такое заметное, как в локальных сетях, монопольно использующих высокочастотные кабели (100 Мбит/с в сетях типа Fast Ethernet и др.). Компромиссное решение для локальных сетей, основанных на системах кабельного телевидения, состоит в выборе неравных скоростей при передаче запросов от пользователя в сеть (до 10 Мбит/с) и при получении информации в обратном направлении (до 40 Мбит/с). Безусловно вторая скорость важнее.

Основные области применения модемов данного типа – доступ к Интернет, передача видео- и аудио-трафика, IP-телефония (голос и факсы) по виртуальным частным сетям (VPN).

Цифровые абонентские линии (Digital Subscriber Line или Loop – xDSL) постепенно замещают аналоговые телефонные линии. Общие преимущества от перехода к цифровым методам обработки сигналов в данном случае дополняются заметным увеличением максимально доступной скорости передачи и реализацией постоянных (некоммутируемых) соединений. Некоторые из вариантов xDSL требуют использования четырехпроводной линии, другие могут функционировать на обычных двухпроводных линиях. Это позволяет организовать высокоскоростную передачу данных, не прибегая к замене старых абонентских линий и прокладке новых выделенных каналов. Повышение скорости достигается за счет более полного использования полосы пропускания линии и усложнения алгоритма обработки передаваемой информации, в том числе ее уплотнения. При этом необходима замена оборудования в магистральной части линии и применение xDSL – модемов со стороны пользователя и провайдера.

Различные варианты xDSL – технологий перечислены ниже:

HDSL – высокоскоростные цифровые абонентские линии ;
ADSL – асимметричные цифровые абонентские линии ;
ISDL – ISDN цифровые абонентские линии ;
SDSL – симметричные высокоскоростные цифровые абонентские линии ;
VDSL – Very HDSL;
RADSL – цифровые абонентские линии с подстройкой скорости передачи данных;
UADSL – универсальные асимметричные цифровые абонентские линии.

Наиболее старые ISDN цифровые абонентские линии появились за рубежом около 20-ти лет назад. При работе на 2-проводной линии они обеспечивают для пользователя скорость передачи до 128 Кбит/с (поток данных в линии до 160 Кбит/с). В нашей стране наибольшее распространение получили 2 варианта xDSL – технологий:

ADSL, для которой скорость потока данных в сторону пользователя (абонента) составляет от 8 до 1,5 Мбит/с, а в обратную сторону – от 1,5 Мбит/с до 640 Кбит/с. На практике из-за снижения качества линий на участке последней мили и влияния перекрестных помех реальная скорость в сторону пользователя может оказаться ниже 1 Мбит/с.
SDSL, для которой скорость в обоих направлениях достигает 2 Мбит/с (реально по Москве средняя скорость составляет 1,5 Мбит/с).

Линии на основе оптоволоконного кабеля практически снимают скоростные ограничения для всех видов информации (включая динамические изображения высокого разрешения). Это – технология будущего, которая не нашла широкого применения в районах с уже сложившейся инфраструктурой. Причина в том, что необходимо вкладывать дополнительные средства в организацию последней мили. Зачастую прокладку оптических сетей делает невозможной архитектура построенных несколько лет назад зданий. В таких случаях гораздо дешевле применять старый и проверенный xDSL. При строительстве же новых зданий оптические технологии последней мили прочно заняли свою нишу и реально используются в странах Юго-Восточной Азии и континентальной Америки.

Беспроводные (радио-) линии привлекательны для тех пользователей, которые не имеют фиксированного рабочего места (учащиеся институтов и университетов, инженеры на производстве и т.д.). Обычно в локальной сети стационарные проводные участки (сегменты) сочетаются с удаленными пользователями или сегментами, обслуживаемыми с помощью радио-модемов (radio modems). Высокая частота несущей (2000…2500 МГц) выбирается из условия малого влияния на передаваемую информацию погодных условий. Возможны также варианты с использованием других диапазонов, расположенных как ниже, так и выше по оси частот. Полоса используемых частот, которая определяет достижимую скорость передачи, ограничена как из-за влияния помех, так и вследствие общей занятости радио-диапазонов. В результате максимальная скорость передачи по беспроводным линиям составляет примерно 2 Мбит/с. Следует заметить, что беспроводная связь на высоких частотах (свыше ~ 900 МГц) устойчиво работает только в условиях прямой видимости абонентов (отсутствия препятствий для радиоволн) на расстоянии до 50 км.

Линии передачи с использованием искусственных спутников Земли в качестве ретрансляторов сигналов в глобальных или региональных компьютерных сетях в целом напоминают наземные варианты беспроводных линий. Для передачи в разных направлениях теперь используются две частоты несущей: 6/4 ГГЦ (другой вариант – 14/12 ГГц). Однако скорость передачи обычно не превышает 50 Мбит/с. Основная проблема в таких линиях связана с заметной временной задержкой сигналов, передаваемых по длинному маршруту. Например, при числе работающих абонентов, равном 100, применяемый алгоритм временного разделения каналов (TDMA) приводит к величине временной задержки 100*2*(37100 км/300000 км/с) 24 с. Для компенсации этой задержки, создающей дискомфорт при живом общении, используются специальные наземные станции-накопители информации SDU (Satellite Delay compensation Unit).

Перечисление линий передачи, в которых применяются модемы, можно продолжить. Стоит упомянуть технологии HPNA (Ethernet на телефонной линии) и Bluetooth (высокоскоростная беспроводная технология). Однако разрешение вопроса о том, какая из упомянутых или еще не заявившая о себе технологий найдет широкое применение на практике – это проблема прогнозирования, которое не может дать ответ со 100-процентной гарантией по определению. Кроме ограниченной развитости линий (например, отечественные телевизионные кабельные сети), сдерживающими факторами могут быть технические особенности отдельных линий (в частности, ограничение области действия сети на основе силовой проводки пределами тех помещений, которые питаются от одного силового трансформатора). Как уже отмечалось, стоимость специфических модемов (типа power line modems, cable modems или radio modems) в настоящее время достаточно высока в сравнении со стоимостью обычных телефонных модемов. Наконец, такие глобальные линии передачи, которые используют искусственные спутники Земли, не всегда доступны рядовому пользователю, хотя неявно их эксплуатируют многие пользователи Интернет.

С достаточной уверенностью можно утверждать, что в ближайшие несколько лет в отечественных условиях будут преобладать решения на основе обычной телефонной линии, то есть модемы, удовлетворяющие стандартам V.34, V.90 и V.92. Более производительные подключения по цифровым линиям xDSL сначала станут широко использоваться в корпоративных сетях, а затем, по мере снижения цен – также и рядовыми пользователями. Этот прогноз может скорректировать появление в ближайшем будущем доступных (в том числе по цене) оптоволоконных линий и аппаратуры для передачи по ним данных (как у провайдеров, так и у конечных пользователей), что в настоящее время представляется маловероятным.

Среди наиболее распространенных при модемной связи телефонных линий есть такие их разновидности и такие режимы работы, которые, опять же, не всегда доступны на практике. Ниже в двух колонках представлены желательные типы и режимы работы телефонных линий, а справа – доступные широкому кругу пользователей (применительно к отечественным условиям).

Четырехпроводные телефонные линии	Двухпроводные телефонные линии
Выделенные (leased) линии	Переключаемые (switched) линии
Многоточечные (many-points) линии	Двухточечные (point-to-point) линии
Линии с тональным набором номера (tone dial)	Линии с импульсным набором номера (pulse dial)

В современных стандартах для модемов (например, в стандарте V.34) предусматривается возможность работы на двухпроводных переключаемых двухточечных линиях, широко распространенных во всем мире. При работе на выделенных линиях, аренда которых из-за высоких цен считается оправданной только при достаточно высокой и постоянной во времени загрузке (трафике), а также при использовании довольно популярных (но не в России) линий с тональным набором номера существенно снижается уровень помех, и более полно реализуются скоростные возможности модемов. Многоточечные линии обеспечивают дополнительный сервис – возможность одновременного подключения к линии нескольких пользователей для проведения так называемых селекторных совещаний, в отличии от случающегося иногда многоточечного соединения в обычной линии с прослушиванием посторонних абонентов.

В отношении качества отечественных телефонных линий высказываются обоснованные претензии, связанные с искажениями сигналов из-за множества факторов.

Значительную долю искажений вносят абонентские линии:

затухание (уменьшение мощности) полезного сигнала;
изменение амплитудно-частотной характеристики по сравнению со стандартными требованиями (изменение мощности сигнала в зависимости от частоты), причем высокочастотные сигналы затухают более сильно;
импеданс линии при нормативе 600 Ом ±20% в реальных линиях может лежать в диапазоне от 400 до 1800 Ом. Это означает, что в российских условиях преимущество имеют модемы с перестраиваемым выходным сопротивлением;
постоянное напряжение смещения (то самое, благодаря которому работают микрофоны) может иметь значительные отклонения от номинала.

При междугородней связи наибольшее влияние оказывают участки переприема, в которых происходит преобразование сигналов из высокочастотных, передаваемых по магистральным линиям с использованием частотного уплотнения каналов, в сигналы звукового диапазона 300..3400 Гц и наоборот. Общее число таких участков может доходить до 8….12. Вносимые искажения во многом зависят от качества настройки полосовых фильтров на телефонных станциях. Основные искажения:

фазочастотные искажения (отклонение группового времени прохождения относительно его значения на частоте 1900 Гц);
дополнительные амплитудно-частотные искажения (затухание на краях полосы пропускания);
смещение несущей частоты (спектр сигнала равномерно смещается на несколько герц);
джиттер фазы (дрожание фазы по периодическому или случайному закону);
скачки фазы (случайный поток скачкообразных изменений начальной фазы сигнала).

Существует еще целый ряд искажений, которые могут возникнуть на всем пути сигнала: шумы, импульсные помехи, замирание сигнала – временное уменьшение его мощности до уровня ниже распознавания модемом, колебания амплитуды и др.

Ответ модема на все эти искажения, независимо от их природы и места возникновения, один и тот же – снижение реальной скорости передачи, вплоть до временного прекращения связи в процессе автоматической адаптации модема к характеристикам линии (см. последующие пункты данного раздела). Так, если рассматривать влияние на скорость передачи только отношения сигнал-шум по мощности S/N, то, как следует из графика на рис. 17.2, даже для достижения сравнительно скромной скорости на уровне 10 Кбит/с в соответствии со стандартом V.34 требуемое отношение сигнал-шум должно быть больше 15 дБ. Измерения на реальных отечественных телефонных линиях, особенно при междугородней связи, показывают возможность снижения отношения сигнал-шум и до меньших величин.

Статьи к прочтению:

Формула Шеннона

Похожие статьи: