Вернемся к нашей функции . Рассмотрим ее табличное представление на интервале [-0.2, 1.4] .
xi | -0.2 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 | 1.2 | 1.4 | ||
f(xi) | 0.04 | 0.04 | 0.16 | 0.36 | 0.64 | 1.44 | 1.96 |
Пусть необходимо построить график производной этой функции.
Для этого необходимо найти значения производных в каждой точке функции. Левые это будут производные или правые, принципиально не важно. Важно то, что для точки не существует левой производной, а для точки
— правой. Это связано с тем, что в общем случае мы не знаем, как ведет себя функция за пределами заданного интервала. Хотя мы легко можем продолжить зависимость
влево и вправо, на практике эта зависимость, как правило, неизвестна.
Итак, расчет левых производных дает зависимость:
![]() | -0.2 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 | 1.2 | 1.4 | ||
![]() | 0.04 | 0.04 | 0.16 | 0.36 | 0.64 | 1.44 | 1.96 | ||
![]() | — | -0.2 | 0.2 | 0.6 | 1.4 | 1.8 | 2.2 | 2.6 |
Для правых производных:
![]() | -0.2 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 | 1.2 | 1.4 | ||
![]() | 0.04 | 0.04 | 0.16 | 0.36 | 0.64 | 1.44 | 1.96 | ||
![]() | -0.2 | 0.2 | 0.6 | 1.4 | 1.8 | 2.2 | 2.6 | — |
Обратите внимание, что в обоих случаях зависимость является линейной, что соответствует теории.
Из школьного курса математики известно, что особые точки функций и их экстремумы определяются характером первой и второй производной. В нашем случае анализ производной показывает, что в окрестности точки находится экстремум функции, а именно минимум. Это также соответствует действительности.
Решение типовых задач
Задача 1. Дана табличная функция на интервале [a,b]. Найти производные функции слева и справа от любой точки на интервале.
Решение.
Используем данные, полученные в лабораторной работе №5 при табулировании функции Пример чтения данных из файла был описан в листинге 26 и здесь не приводится. Будем считать производные для точки
при
.
Листинг 34 |
/*Производная функции в точке*/
#include
#include
void main( void )
{
// Массив для хранения значений аргумента и функции
double nArray[11][2];
// Прочитать данные табличной функции из файла,
// занести их в массив nArray и вывести на экран (Листинг 26)
double dResultLeft, dResultRight;
// Расчет производной слева
dResultLeft = ( nArray[5][1] — nArray[4][1] ) / ( nArray[5][0] — nArray[4][0] );
// Расчет производной справа
dResultRight = ( nArray[6][1] — nArray[5][1] ) / ( nArray[6][0] — nArray[5][0] );
// Вывод результата
cout
cout
cout
}
Задача 2. Дана табличная функция [a,b]. Найти значения производной функции в каждой точке интервала. Занести полученные данные в файл. Построить график производной.
Решение.
Как и в предыдущей задаче воспользуемся данными, полученными в лабораторной работе №5 при табулировании функции . Программный код, осуществляющий чтение приводить не будем. Считаем, что данные прочитаны и занесены в массив nArray.
Листинг 35 |
/*Производная функции на интервале*/
#include
#include
void main( void )
{
// Массив для хранения значений аргумента и функции
double nArray[11][2];
// Прочитать данные табличной функции из файла,
// занести их в массив nArray и вывести на экран (Листинг 26)
// Вывод заголовка
cout
// Массив для хранения результата
double dResult[10];
ofstream File(derivative.txt);
for ( i = 0; i10; i++ )
{
// Расчет производной справа
dResult[i]= (nArray[i+1][1] — nArray[i][1])/(nArray[i+1][0] — nArray[i][0]);
// Вывод результата на экран
cout
// Вывод результата в файл
File
}
File.close();
}
Содержимое файла derivative.txt:
0 0.2
0.2 0.6
0.4 1
0.6 1.4
0.8 1.8
1 2.2
1.2 2.6
1.4 3
1.6 3.4
1.8 3.8
График производной представлен на рис. 19
Рис. 19
Задание на лабораторную работу №8
Задача 1. Используя табличные данные функции, полученные в соответствии со своим вариантом в лабораторной работе №5, разработать алгоритм и написать по нему программу вычисления производной функции в некоторой точке. Производную считать слева и справа. Результат вывести на экран.
Задача 2. Используя табличные данные функции, полученные в соответствии со своим вариантом в лабораторной работе №5, разработать алгоритм и написать по нему программу вычисления производной на всем интервале задания функции. Результат вывести на экран и в текстовый файл. Построить графики исходной табличной функции и ее производной.
Оформить протокол лабораторной работы.
Примечание! Алгоритмы решения задач должны содержать не только расчетную часть, но и блоки формирования входных и выходных данных, а также блоки проверки правильности вводимых данных.
Контрольные вопросы
1. Что означают термины «производная слева» и «производная справа»?
2. Если табличная функция задана на n точках, в скольких точках можно посчитать производные? Почему?
Лабораторная работа №9
Цель: усовершенствовать навыки программирования на примере решения задач численного интегрирования.
Задачи:
1) Разработать алгоритм и написать по нему программу численного нахождения значения определенного интеграла.
2) Разработать алгоритм и написать по нему программу численного нахождения функции неопределенного интеграла.
Статьи к прочтению:
- Промежуточная аттестация обучающихся колледжа, осваивающих основные профессиональные образовательные программы спо в соответствии с фгос
- Просмотр буфера обмена (clipboard viewer)
Задача 7 ЕГЭ по математике #7
Похожие статьи:
-
Вычисление интегральной функции
Вернемся к нашей табличной функции . xi 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 f(xi) 0.4 0.8 1.2 1.6 2.4 2.8 3.2 Напомним, что неопределенный интеграл от функции…
-
Использование средства мастер функций
Для ввода функции и ее аргументов в полуавтоматическом режиме предназначено средство Мастер функций, которое обеспечивает правильное написание функции,…