Системы линейных уравнений

Автор: csaa ·

Система линейных уравнений n-го порядка имеет следующий вид:

или в матричном виде:

AX = B,

где , ,

Корнями системы являются такие значения x1, x2, …, xn, подстановка которых в систему превращает уравнения в тождества.

Метод Гаусса. Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных x1, x2, …, xn путем преобразования системы уравнений таким образом, чтобы под главной диагональю располагались нули. В полученной системе определяется корень xn из последнего уравнения, корень xn–1 – из предпоследнего и т. д.

Рассмотрим алгоритм метода Гаусса:

1. Ввод числа n, обозначающего порядок системы, матрицы A и вектора B.

2. Выполнение п. 3–7 данного алгоритма с изменением номера вычитаемого уравнения k с 1 до n – 1.

3. Выполнение п. 4–7 с изменением номера уравнения i, из которого производится вычитание, с k + 1 до n.

4. Вычисление c = aik / akk, aik = 0.

5. Выполнение п. 6 с изменением номера столбца j c k + 1 до n.

6. Расчет aij = aij – c?akj.

7. Вычисление bi = bi – c?bk.

8. Определение корня xn = bn / ann.

9. Выполнение п. 10–13 с изменением номера уравнения iс n – 1 до 1.

10. Подготовка переменной для вычисления суммы s = 0.

11. Выполнение п. 12 с изменением номера столбца j с i + 1 до n.

12. Вычисление s = s + aij?xj.

13. Определение xi = (bi – s) / aii.

14. Вывод значений x1, x2, …, xn.

В данном алгоритме п. 2–7 обеспечивают преобразование матрицы A к треугольному виду (прямой ход метода), а выполнение п. 8–13 позволяет определить корни системы линейных уравнений (обратный ход метода).

Матричный метод. Зная матрицу A, можно вычислить обратную матрицу A–1, затем умножить ее на систему: A–1 ? A ? X = A–1 ? B. Получится: X = A–1 ? B. Элементы вектора X и являются корнями системы линейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений в приложениях Mathcad и Excel

Рассмотрим решение систем линейных уравнений в приложении Mathcadматричным методом. Сначала записываются коэффициенты системы в матрицу A. Далее задается вектор B и записывается формула для определения корней

X := A–1 ? B.

Корни вычисляются после набора выражения: X =

В приложении Excelтакже можно использовать матричный метод. Пусть имеется система линейных уравнений третьего порядка. Первоначально необходимо ввести элементы матрицы А, например, в ячейки А1:С3. Затем ? вектор В, например, в ячейки Е1:Е3.

Далее следует выделить диапазон ячеек для вычисления корней, например G1:G3, и в строке формул набрать:

=МУМНОЖ(МОБР(A1:C3);E1:E3)

После ее набора нажать не одну клавишу ввода, а вместе три клавиши:++ . В ячейках G1:G3 появятся вычисленные корни системы линейных уравнений.

Системы линейных уравнений

Статьи к прочтению: