Логические операции над высказываниями.
Пусть А и В – произвольные высказывания. Рассмотрим основные операции, которые можно производить с данными высказываниями.
Отрицанием высказывания Аназывается новое высказывание истинное тогда и только тогда, когда высказывание А ложно. Отрицание высказывания А обозначается 
или u А и читается как «не А» или «неверно, что А».
u А=И 
А=Л
Операция отрицания полностью определяется следующей таблицей
| А | u А |
| И | Л |
| Л | И |
истинности.
Конъюнкцией двух высказываний Аи В называется новое высказывание истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания Аи В истинны. Конъюнкция двух высказываний А и В обозначается А U В.
А U В=И А и В = И
Операция конъюнкции двух высказываний Аи В полностью определяется следующей таблицей истинности.
| А | В | А U В |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | Л |
| Л | Л | Л |
Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется новое высказывание, истинное только в том случае, когда одно из высказываний А или В истинно. Дизъюнкция двух высказываний А и В обозначается А U В.
А U В =И А или В = И
Операция дизъюнкции двух высказываний Аи В полностью определяется следующей таблицей истинности.
| А | В | А U В |
| И | И | И |
| И | Л | И |
| Л | И | И |
| Л | Л | Л |
Импликацией двух высказываний А и В называется новое высказывание, ложное тогда и только тогда, когда А — истинно, В — ложно. Импликация двух высказываний А и В обозначается А®В.
А®В =Л А=И и В=Л
Операция импликации двух высказываний Аи В полностью определяется следующей таблицей истинности
| А | В | А®В |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | И |
| Л | Л | И |
Эквивалентностью двух высказываний А и В называется новое высказывание , истинное тогда и только тогда, когда А и В – истинны, либо А и В – ложны. Эквивалентность двух высказываний А и В обозначается А«В.
А«В =И А и В = И или А и В = Л
Операция эквивалентность двух высказываний Аи В полностью определяется следующей таблицей истинности
| А | В | А«В |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | Л |
| Л | Л | И |
Формулы логики высказываний.
Буквы, обозначающие высказывания, логические связки и скобки составляют алфавит логики высказываний. С помощью элементов алфавита можно построить разнообразные логические формулы.
Выражение, составленное из обозначения высказываний, скобок и связок называется логической формулой, если оно удовлетворяет следующим условиям:
любая переменная, обозначающая высказывание – формула.
если А и В – формула, то А U В, А U В, А®В, А«В – формулы.
других формул нет.
Основной задачей логики высказываний является изучение логических форм сложных высказываний с помощью логических операций.
Законы логики.
Определение 1. Формула логики высказываний, которая принимает значение «истина» при любом распределении значений входящих в эту формулу переменных, называется тождественно истинной, тавтологией или законом логики.
Например: А Uu А, А® А, (А® В) U (В ® А).
Определение 2. Формула логики высказываний, которая принимает значение «ложь» при любом распределении значений входящих в эту формулу переменных, называется тождественно ложной или противоречием.
Например: А Uu А, (А Uu А) ® (А Uu А)
Существуют формулы, которые принимают значение «истина» или значение «ложь» в зависимости от того, какие значения принимают входящие в них переменные.
Теорема 1. Если А и А ® В – тавтологии, то и В – тавтология.
Доказательство. Пусть А и А ® В – тавтологии. Допустим, что для какого-либо набора распределения истинностных значений атомов, входящих в А и В, формула В принимает значение «ложь». Формула А «истина», т. к. по условию является тавтологией, но тогда формула А ® В на предполагаемом наборе примет значение «ложь». Что противоречит условию, т. к. А ® В тоже тавтология, т. е. на любом наборе должна принимать значение «истина». Следовательно, В принимает значение «истина» на любом наборе распределения атомов, а значит, является тавтологией. Что и требовалось доказать.