Лабораторная работа №6. решение задач линейной алгебры в ms excel

Цель работы: познакомиться с приемами решения задач линейной алгебры.

Типичными задачами линейной алгебры являются задачи, связанные с решением систем линейных уравнений. При этом приходится работать с массивами чисел. Для их обработки в Excel предусмотрен ряд математических функций:

МОПРЕД(массив) — функция для нахождения определителя квадратной матрицы. Здесь массив — числовой массив с равным количеством строк и столбцов;
МОБР(массив) — функция для нахождения обратной матрицы. Здесь массив — числовой массив с равным количеством строк и столбцов;
МУМНОЖ(массив1;массив2) — функция для нахождения произведения массива1на массив2.Результатом является массив с таким же числом строк, как массив1, и с таким же числом столбцов, как массив2. При этом если обозначить буквой С результат произведения двух массивов А и В, то элементы массива С определяются по формуле , где i — номер строки, а j — номер столбца;
ТРАНСП(массив) — функция для транспонирования массива ячеек на рабочем листе. Транспонирование массива заключается в том, что первая строка массива становится первым столбцом нового массива, вторая строка массива становится вторым столбцом нового массива и т.д.

Особенностью вычислений, связанных с массивами, является то, что результат вычисления распространяется в виде формулы на целый блок ячеек. Такие формулы называются формулами массива. При вводе формул массива необходимо соблюдать определенную последовательность действий:

Шаг 1. Сначала формула вводится в первую ячейку результирующего массива.

Шаг 2.Выделяется весь блок ячеек результирующего массива.

Шаг 3.Нажимается клавишаклавиатуры.

Шаг 4.Нажимается комбинация клавиш Ctrl+Shift+Enter. При этом формула распознается как формула массива и заключается в фигурные скобки { }.

Важно!

При работе с массивами чисел всегда контролируйте размерность результирующего массива!

ЗАДАНИЕ 1. Решение задач линейной алгебры

Рассмотрим решение некоторых задач линейной алгебры на простейших примерах. Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка .

Найдите матрицу А-1, обратную к данной матрице А.
Найдите определитель матрицы А.
Проверьте, что найденная матрица А-1 действительно является обратной для матрицы А.

1. Откройте чистый рабочий лист. Переименуйте его в Обратная матрица.

2. Заполните рабочий лист исходными данными, как показано на рис. 14:

Рис. 14

3. Установите курсор в ячейку Е2 и введите формулу =МОБР(А2:С4). После нажатия клавиши Enter в ячейке Е2 появится число 0,4.

4. Для получения обратной матрицы формулу в этом примере необходимо ввести как формулу массива. Для этого выделите диапазон ячеек Е2:G4, соответствующий обратной матрице (размерность матрицы А-1 очевидно будет такая же, как и у матрицы А). Нажмите клавишу , а затем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. В результате ячейки Е2:G4 будут заполнены элементами обратной матрицы.

5. В ячейку А6 введите текст Определитель(A).

6. Установите курсор в ячейку В6 и введите формулу = МОПРЕД(А2:С4). Нажмите клавишу Enter. В ячейке должно получиться значение определителя матрицы А, равное 5. Внимание!В этом случае формулу для расчета определителя не нужно вводить как формулу массива, так как определитель является не массивом, а одним числом.

7. Для проверки правильности нахождения обратной матрицы вспомним, что должно выполняться условие: А А-1=Е, где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Установите курсор в ячейку Е6 и введите текст Произведение матриц.

8. В ячейку Е7 введите формулу = МУМНОЖ(А2:С4; Е2:G4). Нажмите клавишу Enter.

9. Формулу в этом случае также вводим как формулу массива. В результате ячейки Е7:G9 будут заполнены элементами единичной матрицы (по главной диагонали будут записаны 1, остальные элементы будут равны 0). Если числа имеют много десятичных знаков, то выделите ячейки Е7:G9 и уменьшите разрядность либо при помощи команды меню Формат/Ячейки/закладка Число, либо при помощи кнопки Уменьшить разрядность .

ТЕСТОВОЕ ЗАДАНИЕ 1. Решение систем линейных уравнений

Вариант вашего задания задает преподаватель!

Откройте чистый рабочий лист. Переименуйте его в Тест 1.Решите систему линейных уравнений (см. табл. 5) по формулам Крамера.

Формулы Крамера имеют вид:

Здесь D- определитель системы, а Di — вспомогательный определитель, который получается из исходного определителя D путем замены i-го столбца на столбец свободных членов уравнений системы.

Таблица 5

№	Решить систему	№	Решить систему

ТЕСТОВОЕ ЗАДАНИЕ 2. Решение уравнений, записанных в матричной форме

Вариант вашего задания задает преподаватель!

Откройте чистый рабочий лист. Переименуйте его в Тест 2.Решите матричные уравнения, выбрав свой вариант из таблицы 6.

Примечание. Заданное уравнение нужно свести к одному из двух видов:

1) А Х=В, здесь решение находится по формуле Х=А-1 В

или

2) Х А =В, в этом случае решение находится по формуле Х=В А-1.

Если исходное уравнение имеет вид С Х А =В, то его предварительно приведите к виду: Х А = С-1 В, рассчитайте правую часть системы и затем воспользуйтесь предложенными формулами для нахождения решения системы.

Таблица 6